Упрощение алгебраических выражений (7-8 Классы)

Одним из самых распространенных заданий в алгебре является "Упростите выражение". Чтобы выполнить эту задачу, необходимо использовать различные приемы, которые могут варьироваться в зависимости от сложности выражения. Часто требуется комбинировать несколько приемов для достижения наилучшего результата. В этой статье мы рассмотрим основные методы упрощения выражений и покажем, как их применять на примерах.

1. Приведение подобных слагаемых

Что это такое? Подобные слагаемые — это слагаемые, у которых буквенная часть полностью совпадает (с учетом степеней). Например:

• 5a и −6a — подобные слагаемые.
• −3xy и 3yx — подобные слагаемые (порядок букв не важен).
• 2 и 10 — подобные слагаемые (так как они не содержат букв).

Как это работает? Складывать или вычитать можно только подобные слагаемые. Числовые коэффициенты складываются или вычитаются, а буквенная часть остается без изменений.

Пример: Упростите выражение: 3x+2y−5x+7y

1. Выделите подобные слагаемые: (3x−5x)+(2y+7y)

2. Сложите коэффициенты: −2x+9y

Результат: −2x+9y

2. Умножение одночленов и многочленов

Что это такое?

• Одночлен — это выражение, состоящее из произведения чисел, букв и степеней. Например: 5, 3x, 4x²y.
• Многочлен — это сумма одночленов. Например: 3x+2y−5.

Как это работает?

• При умножении одночленов используйте правила умножения чисел и степеней.
• При умножении одночлена на многочлен, умножьте одночлен на каждый одночлен многочлена.
• При умножении многочлена на многочлен, умножьте каждое слагаемое первого многочлена на каждое слагаемое второго многочлена.

Пример: Умножьте 2x⋅(3x+4y).

1. Умножьте 2x на каждый одночлен в скобках: 2x⋅3x+2x⋅4y

2. Примените правила умножения: 6x²+8xy

Результат: 6x²+8xy

3. Вынесение общего множителя за скобки

Что это такое? Вынесение общего множителя за скобки — это процесс, обратный раскрытию скобок. Выделяется общий множитель из нескольких слагаемых и выносится за скобки.

Как это работает?

1. Найдите общий множитель для всех слагаемых.
2. Разделите каждое слагаемое на общий множитель.
3. Запишите результат в виде произведения общего множителя и скобки, содержащей оставшиеся выражения.

Пример: Упростите выражение: 12x+8y

1. Найдите общий множитель: 4.
2. Разделите каждое слагаемое на 4: 12x÷4=3x  8y÷4=2y
3. Запишите результат: 4(3x+2y)

Результат: 4(3x+2y)

4. Разложение многочлена на множители способом группировки

Что это такое? Способ группировки помогает разложить многочлен на множители, когда нет общего множителя для всех слагаемых, но есть общие множители для групп слагаемых.

Как это работает?

1. Группируйте слагаемые так, чтобы в каждой группе было общее слагаемое.
2. Вынесите общие множители из каждой группы.
3. Если полученные скобки одинаковы, вынесите их за скобки.

Пример: Разложите многочлен x²+3x+2x+6.

1. Группируйте слагаемые: (x²+3x)+(2x+6)
2. Вынесите общие множители: x(x+3)+2(x+3)
3. Вынесите общую скобку: (x+2)(x+3)

Результат: (x+2)(x+3)

5. Разложение квадратного трехчлена на множители

Что это такое? Квадратный трехчлен — это многочлен вида ax²+bx+c. Его можно разложить на множители, решив соответствующее квадратное уравнение ax²+bx+c=0.

Как это работает?

1. Найдите корни квадратного уравнения ax²+bx+c=0.
2. Подставьте корни x₁​ и x_2​ в формулу a(x−x_1​)(x−x₂​).

Пример: Разложите квадратный трехчлен x²−5x+6.

1. Решите квадратное уравнение x²−5x+6=0:
   D=(−5)2−4⋅1⋅6=25−24=1
   x₁​=25+1​=3
   x₂​=25−1​=2
2. Подставьте корни в формулу: (x−3)(x−2)

Результат: (x−3)(x−2)

Практические Задания

1. Упростите выражение: 4x+2y−3x+5y

2. Умножьте: 3x⋅(2x+5y)

3. Вынесите общий множитель: 15a+10b

4. Разложите на множители: x²+7x+12

Заключение

Упрощение алгебраических выражений — это важный навык, который поможет вам решать более сложные задачи. Следуя этим методам и практикуясь, вы сможете уверенно упрощать любые выражения. Если у вас есть вопросы или нужна помощь, не стесняйтесь обращаться!

#ТождественноеПреобразование, 
#УпрощениеВыражений, 
#РаскрытиеСкобок, 
#ВынесениеОбщегоМножителя, 
#ПриведениеПодобныхСлагаемых, 
#МатематическиеПреобразования,
#РешениеУравнений